문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 자연로그의 밑 (문단 편집) == 기타 == * [math(\lim\limits_{n \to \infty} {(1-n^{-1} )}^n = e^{-1})]이다. 고등학교 교육과정에서는 등장하지 않지만 극한에 대한 이해를 평가하는 문제로서 간간히 출제되기도 한다. * 이 값은 [[가챠]]처럼 카드 뽑기 게임에서도 활용되는 수이다. 확률이 [math(n^{-1})]인 카드를 [math(n)]번 뽑았다고 했을 때, 단 한 번도 안 나올 확률은 [math(e^{-1}=0.36787944117144\cdots)]가 된다. 이 식은 [math(n=100)] 정도만 돼도 충분히 [math(e^{-1})]값에 근접하므로 만약 확률이 1%인 뽑기를 100번 한다고 해도 36.79%정도의 확률로 한 번도 안 뜰 수 있다. 참값은 약 36.60%으로 거의 일치함을 알 수 있다. * [math(x>0)] 구간에서 [math(y = x^x)]의 최솟값은 [math(x = e^{-1})]에서, [math(y = x^{1/x})]의 최댓값은 [math(x=e)]일 때 나온다. 또한 [math(a^x)]와 그 역함수가 접할 조건은 [math(a = e^{1/e})]일 때이며 접점은 [math((e,\,e))]이다. * 방정식 [math(xe^x = 1)]의 실수해를 [[오메가 상수]]란 게 있다. [[지수함수]]의 특수한 역함수인 [[람베르트 W 함수|람베르트 [math(W)] 함수]]에 1을 대입하면 얻을 수 있다. * 서로 무관한 수처럼 보이는 [math(e)]와 원주율 [math(\pi)], 허수단위 [math(i)]를 합치면 [[오일러 등식|[math(e^{\pi i} + 1 = 0)]]]이란 굉장히 깔끔한 결과가 나온다. 자세한 것은 [[오일러 등식]] 문서를 참고할 것. * [math(e)]를 [[원주율|[math(\pi)]]]만큼 거듭 제곱한 수 [math(e^\pi)]은 겔폰트-슈나이더 정리에 해당하는 예시 중 하나로서 거론된 [[초월수]][* [math(e^\pi = (e^{i\pi})^{-i} = (-1)^{-i})]이며 [math(-1)]은 [math(0)], [math(1)]이 아닌 대수적인 수, [math(-i)]는 유리수가 아닌 대수적인 수이기 때문에 겔폰트-슈나이더 정리에 따라 [math(e^\pi)]는 초월수이다.]이며 증명자 겔폰트의 이름을 따 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%27s_constant|겔폰트 상수]]라고 한다. * 겔폰트 수의 제곱근을 [[무한 지수 탑 함수]]에 대입하면 순허수가 나오며 그 값은 [math(-i)]이다. * [[완전순열]]의 일반항에 자연로그의 밑이 들어간다([math(!n = \operatorname{round}(n!/e))]). * [math(y^x = x^y)]의 그래프를 표시할 경우 양의 항등함수 그래프 하나와 곡선 그래프 하나가 나오는데,[* 이 방정식에서 [math(y = x)]가 아닌 자연수 x, y의 순서쌍은 [[16|[math((2, 4))], [math((4, 2))]]]이다. ] 두 그래프의 교점은 [math((e, e))]이다. 마찬가지로 [math(y^{1/x} = x^{1/y})]의 그래프를 표시할 경우 항등함수 그래프 하나와 곡선 그래프 하나가 나오고, 두 그래프의 교점은 [math((1/e, 1/e))]이다. * [[고등학교]]에서 [math(e)]를 배울 때는 '무리수 [math(e)]'(혹은 극한값 [math(e)] 또는 수 [math(e)])라는 명칭으로 배우게 된다. 하지만 고등학교에서는 [[로그함수]]의 미분에 대해 배우기도 전에 [math(e)]의 극한식 정의부터 배운다. 실제 미적분학을 비롯한 [[수학]] 전반에서 [math(e)]를 사용하면 표기법이 놀랍도록 간단해진다. 현재 자연로그는 고교과정에서 [[경제수학]][* 자연로그는 나오지 않고 [math(e)]에 대해서 살짝 다루는 정도다. 미적분과 달리 자연상수라는 잘못된 명칭을 그대로 쓴다.]을 제외하면 자연계열에만 [[미적분(교과)|편성되어 있다.]] * [math(e)]가 [[무리수]]임을 보이는 것은 쉬우나[* [[귀류법]]으로 [math(e = m/n)]이라 하고, [math(n!e)]를 생각해보자.], 정수 다항식의 근이 될 수 없는 [[초월수]]임을 보이는 건 훨씬 어렵다.[* 그래도 정수 계수 이차방정식의 근이 될 수 없다는 것은 무리수 증명보단 어렵지만 초월수 증명에 비해 쉽게 보일 수 있다. 귀류법으로 [math(ae+b/e = c)], [math(a\neq 0)]을 만족시키는 정수해 [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 있다고 가정한 후 [math(e)]와 [math(e^{-1})]의 테일러 전개를 잘 이용해주면 된다.] 여러 [math(e^e)] 등의 수들, 심지어 [math(e+\pi)] 마저도 유리수인지 무리수인지조차 확인이 되지 않고 있다.[* 참고로 [math(e\pm\pi)]와 [math(\pi e)] 둘 중 적어도 하나는 초월수라는 것 자체는 [math(e)]와 [math(\pi)]가 둘 다 초월수라는 사실을 이용하면 어마어마하게 매우 쉽게 보일 수 있다. 대수적인 수를 모아놓은 집합은 일반적인 연산에 대해 닫혀있는 [[체(대수학)|체]](수학적으로는 유리수 체의 대수적 폐포([math(\mathbb{Q}_{\mathbb{A}})])라고 한다.)인데, 이를 이용하면 된다. 간단히 말해서, 둘 다 대수적인 수라고 가정하면 [math(x^{2}-\left(e\pm\pi\right)x\pm\pi e=0)]이라는 이차방정식이 [math(\left(x-e\right)\left(x\mp\pi\right)=0)]으로 인수분해되므로, [math(e)]와 [math(\pi)]는 대수적인 수라는 결론이 나와야 하는데, 둘 다 초월수임은 밝혀졌기 때문에 모순이 된다. 즉, [math(e\pm\pi)]와 [math(\pi e)]가 둘 다 대수적이라고 가정한 전제가 틀렸다는 결론이 나와서 '''적어도 하나는 초월수'''라는 결론이 나오는 것.] 참고로, [math(e)]가 초월수라는 것을 가장 쉽게 보이는 방법은 린데만-바이어슈트라스 정리[* 선형독립된 유한개의 대수적 수는 [math(e)]의 거듭제곱을 하더라도 선형독립이라는 정리. 즉, 모두 0이 아닌 대수적 수 [math(\alpha_{k})]에 대하여 서로 다른 대수적 수 [math(\beta_{k})]가 존재할 때 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\beta_{k}\neq 0)]과 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}e^{\beta_{k}}\neq 0)]는 동치다 라는 정리다. 린데만-바이어슈트라스 정리의 증명에서 [math(e)]는 초월수라는 것을 이용하지 않기 때문에 가능한 방법으로, 만약 [math(e)]가 초월수라는 사실을 이용했다면 아래의 내용은 순환오류를 내포하게 되므로 증명이 될 수 없다.]를 이용하는 방법. ||'''증명''' ----- 초월수는 대수적 다항식의 근이 될 수 없으므로 [math(e)]가 대수적 수라 가정하자. 즉, [math(e)]는 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0)]의 근이 되므로 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}e^{k}=0)]가 된다. 이 식의 각 항에 [math(e)]를 곱하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e\cdot a_{k}e^{k}=0 \quad \cdots \, (\ast))] }}} 이제 [math(a_{k}\cdot e=\alpha_{k})]라고 두자. [math(k)]는 0부터 [math(n)]까지의 '''서로 다른 대수적 수'''인 정수다. 또한 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}e^{k}=0)]가 대수적 다항식이므로 적어도 1개 이상의 [math(a_{k}\neq0)]인 [math(k)]가 존재한다. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}e^{k}=\sum_{k=1}^{n}e\cdot a_{k}e^{k}\neq 0)]}}} 이어야 한다. 그런데 [math((\ast))]는 그 값이 0이어야 한다. 이는 모순이므로 [math(e)]가 대수적 수라고 가정한 전제가 틀렸다는 결론이 나온다. 따라서 귀류법에 의하여 전제가 된 [math(e)]는 대수적 수라는 것이 '''거짓'''이므로 '''[math(\boldsymbol{e})]는 초월수라는게 증명되었다.'''|| * [[원주율]] [math(3.141592\cdots)]를 [[파이|[math(\pi)]]]로 간단하게 쓰는 것처럼 [math(e)] 역시 비순환소수, 즉 무리수이다. 유의미한 수학 상수 중에선 [[초월수]]로서 처음으로 증명된 수이기도 하다. 사족으로, 의미가 큰 건 아니지만, 초월수로 증명된 첫 번째 수는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty10^{-k!}=0.110001\cdots)]}}} 으로 정의되는 리우빌 상수(Liouville's Number)로, 이 수는 초월수의 존재를 증명하기 위해 만들어진 숫자다. 발견 자체는 [[원주율]]이 훨씬 빨랐지만, 원주율이 초월수로 증명된 건 [math(e)]가 초월수로 증명된지 9년 후이다. * [[밑]] 문서에도 적혀있지만 '자연로그의 밑'과 관련해선 발음에 유의해야 한다. '자연로그의 밑으로 갖는…'과 같은 구절에서 [미츠로]라고 읽는 사람이 많으나 '''[미트로]'''라고 읽는 게 올바르다. '밑을' 역시 [미츨]이 아니라 '''[미틀]'''로 발음해야 한다. 'ㅌ'이 'ㅊ' 발음이 나는 경우에 대해서는 [[구개음화]] 문서 참고. * 실제로는 수지만 쓸 때는 그냥 [math(e)]라고 쓰는 것을 이용해 문과 놀리기를 하기도 한다.[* 현행 교육과정(2015 개정)에선 무리수 [math(e)] 관련 내용이 [[미적분(교과)|미적분]] 초반 부분에 있다. 따라서 문과는 배우지 않는다. 그리고 과거에도 문과는 이 내용을 배운 적이 없었다.] * 소수점 아래 열 번째 자리까진 매우 쉽게 외울 수 있다. [math(2.7)][[18|[math(\mathbf{18}\,)]]][[28|[math(\mathbf{28}\,)]]][[18|[math(\mathbf{18}\,)]]][[28|[math(\mathbf{28}\,)]]][[死|[math(\mathbf{4})]]][math(\cdots)] [math(9)]번째 자리까지만 본다면 유리수 같이 보이는 착각이 일어난다.[* '2.[[친일파]] [[씨발|이시팔 시팔 이시팔]]'로 외울 수 있다. 이과 고등학생이라면 적어도 [math(2.718)] 정도까진 외워두는 게 좋다. 값의 크기를 비교할 때 써먹어야 하기 때문. 이를테면 3, [math(e)], 2의 대소를 비교하라 할 때.] 사실 소수점 아래 열다섯 번째 자리까지도 그리 어렵지 않다. [math(2.7)][[18|[math(\mathbf{18}\,)]]][[28|[math(\mathbf{28}\,)]]][[18|[math(\mathbf{18}\,)]]][[28|[math(\mathbf{28}\,)]]][[45|[math(\mathbf{45}\,)]]][[90|[math(\mathbf{90}\,)]]][[45|[math(\mathbf{45})]]][math(\cdots)] 45와 90이 깔끔하게 배수 관계라 기억하기 쉽다. * [math({\rm d}x = ax\,{\rm d}y)]와 같은 형태의 [[미분방정식]]을 풀면 그 일반해는 [math(y=e^{ax}+C)]의 형태를 갖는 [[지수함수]]가 된다. 때문에 자연과학에서 지수적으로 변화하는 특성을 가진 현상(복사전달, [[반감기]] 등)을 수식으로 기술할 때는 보통 그 식이 [math(y=e^{ax}+C)]꼴의 지수함수가 된다. * 한편, [math(2^2)], [math(2^e)], [math(e^2)], [math(e^e)]이 [[동남 방언]]에선 완벽히 구분되는데 [[대한민국 표준어|표준 한국어]]에선 전혀 구분되지 않는다는 이야기가 인터넷에 돌았고[* 예를 들어 [[https://www.youtube.com/watch?v=yABB3gtuWA4|정승제]] 강사의 강의 중.], 각 방언 사용자들이 서로에게 그게 진짜냐고 묻는 떡밥이 돌기도 했다. 해당 방언 사용자는 2e와 [[EE|ee]]를 각각 발음해 보면 감이 온다. 사실 전국적으로 그렇게 발음하는 사람이 많은데, 표준어 사용자라고 그렇지 않다는 건 없다. 그러므로 구분이 안 된다는 말은 어떻게 보면 틀린다. 자음은 묵음이고 /i/만 달랑 발음되는 숫자 2와는 달리 e 앞에 자기도 모르는 새 /ʔ/음가가 들어가기 때문. 참고로 이 발음은 엄연히 성조나 강세가 아닌 하나의 음가다. [[성문음]] 참고.(여담이지만, 중세 국어엔 /ʔ/에 해당하는 음가가 있었다. 그게 바로 __ㆆ(여린히읗)__. 지금도 한국어 구사자들은 이 발음을 무의식적으로 발음한다. 쉽게 말해 명치를 맞을 때 내는 "윽!"소리의 "ㅇ"의 실제 발음이다. 일(一)을 발음할 때도 나오는 발음이다.) * 원주율에 비해 떡밥이 적다. 모두 동그라미를 그릴 줄 알기에 원주율에 대해선 직감적이지만(애초에 원의 지름과 원의 둘레의 비를 원주율 [math(\pi)]로 정의한 것이니, 당연히 직관적으로 이해할 수 있다.) 무리수 [math(e)]는 적용된 도형이 거의 없으니... 굳이 찾아본다면 [[삼각함수]]의 [[사인 곡선|물결 모양]][* 삼각함수는 [math(e)]를 밑으로 하는 [[지수함수]]의 꼴로 바꿀 수 있다. 다만 이렇게 바꾸려면 [[오일러 공식]]을 활용하는 복소함수적 접근을 해야 하지만.], [[정규 분포]]의 종 모양 곡선, [[현수선]], [[앵무조개]]의 [[로그함수#s-2.1|껍데기가 그리는 나선]] 정도. * [[https://www.nbcnews.com/health/health-news/how-old-your-dog-new-equation-shows-how-calculate-its-n1233459|한 연구]]에 따르면, [[개]]의 실제 연령을 [math(A)], 개 나이를 [math(a)]라 하면 다음이 성립한다고 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle A=16\ln{a}+31 )] }}} 즉, 개 나이가 3~7세라면 사람으로 치면 49~62세에 해당한다. * [math(\lim\limits_{x \to \infty} {x \over x!^{1 \over x}})] 의 결과값도 [math(e)]이다. [각주][include(틀:문서 가져옴, title=자연로그, version=606, paragraph=3, title2=자연로그, version2=617, paragraph2=4.6, title3=자연로그, version3=618, paragraph3=6)]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기